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Indice General
Introducci´on ix
Preliminares conjuntistas xv
Cap´ıtulo I: Los numeros ´ enteros y racionales 1
1.1 Construcci´on de los numeros ´ enteros . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Cuerpos de cocientes. Numeros ´ racionales . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Cap´ıtulo II: Anillos de polinomios 15
2.1 Construcci´on de los anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Evaluaci´on de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Cap´ıtulo III: Ideales 25
3.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Cap´ıtulo IV: Divisibilidad en dominios ´ıntegros 29
4.1 Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Cap´ıtulo V: Congruencias y anillos cociente 45
5.1 Deﬁniciones b´asicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Numeros ´ perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.4 Homomorﬁsmos y anillos cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
vvi ´INDICE GENERAL
Cap´ıtulo VI: Algunas aplicaciones 65
6.1 Ternas pitag´oricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.2 Sumas de dos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.3 Sumas de cuatro cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.4 Numeros ´ de la forma x
2
+3y
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.5 La ecuaci´on x
2
+3y
2
= z
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.6 El Ultimo ´
Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.7 Enteros ciclot´omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Cap´ıtulo VII: M´odulos y espacios vectoriales 87
7.1 M´odulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2 Suma de m´odulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.3 M´odulos libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Cap´ıtulo VIII: Extensiones de cuerpos 105
8.1 Extensiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Homomorﬁsmos entre extensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.3 Clausuras algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.4 Extensiones normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.5 Extensiones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.6 El teorema del elemento primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.7 Normas y trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Cap´ıtulo IX: Grupos 135
9.1 Deﬁnici´on y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.2 Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.3 Generadores, grupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9.4 Conjugaci´on y subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.5 Producto de grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.6 Grupos cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.7 Grupos alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Cap´ıtulo X: Matrices y determinantes 157
10.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.3 Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Cap´ıtulo XI: Enteros algebraicos 179
11.1 Deﬁnici´on y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.2 Ejemplos de anillos de enteros algebraicos . . . . . . . . . . . . . 185
11.3 Divisibilidad en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11.4 Factorizaci´on unica ´ en cuerpos cuadr´aticos. . . . . . . . . . . . . 195
11.5 Aplicaciones de la factorizaci´on unica ´ . . . . . . . . . . . . . . . . 201
INDICE GENERAL vii
Cap´ıtulo XII: Factorizaci´on ideal 207
12.1 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
12.2 Factorizaci´on ideal en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . 214
12.3 Dominios de Dedekind y dominios de factorizaci´on unica ´ . . . . . 220
Cap´ıtulo XIII: Factorizaci´on en cuerpos cuadr´aticos 223
13.1 Los primos cuadr´aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.2 El grupo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.3 C´alculo del numero ´ de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Cap´ıtulo XIV: La ley de reciprocidad cuadr´atica 243
14.1 Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
14.2 El s´ımbolo de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
14.3 El s´ımbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
14.4 Los teoremas de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Cap´ıtulo XV: La teor´ıa de Galois 259
15.1 La correspondencia de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
15.2 Extensiones ciclot´omicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
15.3 Cuerpos ﬁnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
15.4 Polinomios sim´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Cap´ıtulo XVI: M´odulos ﬁnitamente generados 281
16.1 Los teoremas de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
16.2 La estructura de los grupos de unidades . . . . . . . . . . . . . . 289
Cap´ıtulo XVII: Resoluci´on de ecuaciones por radicales 293
17.1 Extensiones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
17.2 Grupos resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
17.3 Caracterizaci´on de las extensiones radicales . . . . . . . . . . . . 303
17.4 La ecuaci´on general de grado n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
Ap´endice A: El teorema de la base normal 307
Ap´endice B: Extensiones inseparables 311
Ap´endice C: La resultante 315
Bibliograf´ıa 319
´Indice de Tablas 321
´Indice de Materias 322