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Primeras definiciones. En este tema K denota al cuerpo de los n´umeros reales R o al cuerpo de los
n´umeros complejos C. Un polinomio de una variable x con coeficientes en K es una expresi´on del tipo
P(x) = p0 + p1x + · · · + pnx
n
=
Xn
j=0
pjx
j
pn = 0 6
donde p0, p1, . . . , pn ∈ K. Usaremos las siguientes notaciones:
El t´ermino independiente es p0 = P(0).
El coeficiente principal es pn.
El polinomio es m´onico cuando pn = 1.
Si no es m´onico, podemos normalizarlo, es decir, convertirlo en m´onico dividi´endolo por pn.
El grado del polinomio es n y escribiremos gr[P(x)] = n. (El polinomio nulo no tiene grado.)
K[x] denota al conjunto de polinomios con coeficientes en K.
Kn[x] denota al conjunto de polinomios con coeficientes en K de grado menor o igual que n.
Las operaciones b´asicas para trabajar con polinomios son la suma de polinomios, el producto por
escalar y el producto de polinomios. Una manera compacta de listar las propiedades de las primeras
operaciones consiste en decir que (K[x], +, ·) es un K-ev y Kn[x] es un sev de dimensi´on n+ 1 de K[x].
El producto de polinomios es una operaci´on asociativa, conmutativa y posee elemento neutro (¿cu´al?).
La relaci´on de estas operaciones con el grado es la siguiente:
gr[P(x) + Q(x)] ≤ m´ax
gr[P(x)], gr[Q(x)]
.
gr[P(x) · Q(x)] = gr[P(x)] + gr[Q(x)].
gr[λ · P(x)] = gr[P(x)], para todo 0 =6 λ ∈ K
