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Table of Contents
Preface ix
1 Relations and Functions 1
1.1 The Cartesian Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Distance in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Graphs of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Introduction to Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5 Function Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.6 Function Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.6.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.7 Graphs of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.7.1 General Function Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.7.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.7.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.8 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.8.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.8.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
iv Table of Contents
2 Linear and Quadratic Functions 111
2.1 Linear Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.2 Absolute Value Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.3 Quadratic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.4 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.5 Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3 Polynomial Functions 179
3.1 Graphs of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.2 The Factor Theorem and The Remainder Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.3 Real Zeros of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.3.1 For Those Wishing to use a Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.3.2 For Those Wishing NOT to use a Graphing Calculator . . . . . . . . . . . 211
3.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.3.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.4 Complex Zeros and the Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . 219
3.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
3.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4 Rational Functions 231
4.1 Introduction to Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.2 Graphs of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.3 Rational Inequalities and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.3.1 Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Table of Contents v
4.3.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5 Further Topics in Functions 279
5.1 Function Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
5.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.2 Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
5.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.3 Other Algebraic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6 Exponential and Logarithmic Functions 329
6.1 Introduction to Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
6.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.2 Properties of Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
6.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
6.3 Exponential Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
6.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
6.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
6.4 Logarithmic Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
6.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
6.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6.5 Applications of Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . 378
6.5.1 Applications of Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
6.5.2 Applications of Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
6.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
7 Hooked on Conics 397
7.1 Introduction to Conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
7.2 Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
7.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
7.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
7.3 Parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
7.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
7.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
7.4 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
7.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
7.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430vi
Table of Contents
7.5 Hyperbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
7.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
7.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
8 Systems of Equations and Matrices 449
8.1 Systems of Linear Equations: Gaussian Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
8.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
8.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
8.2 Systems of Linear Equations: Augmented Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
8.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
8.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
8.3 Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
8.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
8.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
8.4 Systems of Linear Equations: Matrix Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
8.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
8.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
8.5 Determinants and Cramer's Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
8.5.1 De nition and Properties of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
8.5.2 Cramer's Rule and Matrix Adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
8.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
8.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
8.6 Partial Fraction Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
8.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
8.6.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
8.7 Systems of Non-Linear Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
8.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
8.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
9 Sequences and the Binomial Theorem 551
9.1 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
9.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
9.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
9.2 Summation Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
9.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
9.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
9.3 Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
9.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
9.3.2 Selected Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
9.4 The Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
9.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
9.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
Table of Contents vii
10 Foundations of Trigonometry 593
10.1 Angles and their Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
10.1.1 Applications of Radian Measure: Circular Motion . . . . . . . . . . . . . . 605
10.1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
10.1.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
10.2 The Unit Circle: Cosine and Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
10.2.1 Beyond the Unit Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
10.2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
10.2.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
10.3 The Six Circular Functions and Fundamental Identities . . . . . . . . . . . . . . . . 635
10.3.1 Beyond the Unit Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
10.3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
10.3.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
10.4 Trigonometric Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
10.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
10.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
10.5 Graphs of the Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
10.5.1 Graphs of the Cosine and Sine Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
10.5.2 Graphs of the Secant and Cosecant Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 682
10.5.3 Graphs of the Tangent and Cotangent Functions . . . . . . . . . . . . . . . 686
10.5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
10.5.5 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
10.6 The Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
10.6.1 Inverses of Secant and Cosecant: Trigonometry Friendly Approach . . . . . 708
10.6.2 Inverses of Secant and Cosecant: Calculus Friendly Approach . . . . . . . . 711
10.6.3 Using a Calculator to Approximate Inverse Function Values. . . . . . . . . 714
10.6.4 Solving Equations Using the Inverse Trigonometric Functions. . . . . . . . 716
10.6.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
10.6.6 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
10.7 Trigonometric Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729
10.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742
10.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
11 Applications of Trigonometry 747
11.1 Applications of Sinusoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747
11.1.1 Harmonic Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
11.1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757
11.1.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759
11.2 The Law of Sines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
11.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769
11.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772
11.3 The Law of Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773
viii Table of Contents
11.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779
11.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
11.4 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
11.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793
11.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
11.5 Graphs of Polar Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796
11.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
11.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820
11.6 Hooked on Conics Again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826
11.6.1 Rotation of Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826
11.6.2 The Polar Form of Conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834
11.6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839
11.6.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840
11.7 Polar Form of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842
11.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855
11.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857
11.8 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859
11.8.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872
11.8.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874
11.9 The Dot Product and Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875
11.9.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883
11.9.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884
11.10 Parametric Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885
11.10.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896
11.10.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899
Index 901
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