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Contents
1 Introduction 1
1.1 Financial Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Financial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Payoff functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Other kinds of options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Types of traders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Basic assumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Asset Price Model 7
2.1 Efficient market hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 The asset price model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 The discrete asset price model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 The continuous asset price model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 The solution of the discrete asset price model . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 The Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.1 The definition of a Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.2 The Brownian as a limit of random walk . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.3 Properties of Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Ito’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˆ 12
2.7 The solution of the continuous asset price model . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Continuous model as a limit of the discrete model . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9 Simulation of asset price model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Black-Scholes Analysis 19
3.1 The hypothesis of no-arbitrage-opportunities . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Basic properties of option prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 The relation between payoff and options . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 European options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.3 Basic properties of American options . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.4 Dividend Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 The Black-Scholes Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.1 Black-Scholes Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.2 Boundary and Final condition for European options . . . . . . . . . 27
34 CONTENTS
3.4 Exact solution for the B-S equation for European options . . . . . . . . . . 28
3.4.1 Reduction to parabolic equation with constant coefficients . . . . . 28
3.4.2 Further reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.3 Black-Scholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.4 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Risk Neutrality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6 The delta hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6.1 Time-Dependent r, σ, µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7 Trading strategy involving options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7.1 Strategies involving a single option and stock . . . . . . . . . . . . 37
3.7.2 Bull spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7.3 Bear spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7.4 Butterfly spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Variations on Black-Scholes models 41
4.1 Options on dividend-paying assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.1 Constant dividend yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.2 Discrete dividend payments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Warrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Futures and futures options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1 Forward contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.2 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.3 Futures options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.4 Black-Scholes analysis on futures options . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Numerical Methods 51
5.1 Monte Carlo method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2 Binomial Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.2.1 Binomial method for asset price model . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2.2 Binomial method for option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Finite difference methods (for the modified B-S eq.) . . . . . . . . . . . . . 53
5.3.1 Discretization methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.2 Binomial method is a forward Euler finite difference method . . . . 55
5.3.3 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.4 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.5 Boundary condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Converting the B-S equation to finite domain . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Fast algorithms for solving linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5.1 Direct methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5.2 Iterative methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 American Option 69
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 American options as a free boundary value problem . . . . . . . . . . . . . 70
6.2.1 American put option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70CONTENTS 1
6.2.2 American call option on a dividend-paying asset . . . . . . . . . . 72
6.3 American option as a linear complementary problem . . . . . . . . . . . . 72
6.4 Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4.1 Projective method for American put . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4.2 Projective method for American call . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4.3 Implicit method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.5 Converting American option to a fixed domain problem . . . . . . . . . . . 76
6.5.1 American call option with dividend paying asset . . . . . . . . . . 76
6.5.2 American put option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7 Exotic Options 79
7.1 Binaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2 Compounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.3 Chooser options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.4 Barrier option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.4.1 down-and-out call(knockout) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.4.2 down-and-in(knock-in) option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.5 Asian options and lookback options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8 Path-Dependent Options 85
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2 General Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.3 Average strike options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.3.1 European calls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.3.2 American call options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.3.3 Put-call parity for average strike option . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.4 Lookback Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.4.1 A lookback put with European exercise feature . . . . . . . . . . . 89
8.4.2 Lookback put option with American exercise feature . . . . . . . . 90
9 Bonds and Interest Rate Derivatives 91
9.1 Bond Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.1.1 Deterministic bond model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.1.2 Stochastic bond model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.2 Interest models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.2.1 A functional approach for interest rate model . . . . . . . . . . . . 93
9.3 Convertible Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
A Basic theory of stochastic calculus 97
A.1 Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.2 Stochastic integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.3 Stochastic differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.4 Diffusion process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
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