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Al Juarismi (siglo IX d.C.), considerado uno de los «padres del álgebra».

El Álgebra (del árabe: الجبر al-ŷabr 'reintegración, recomposición'¹ ) es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética.^2 3 En el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

A diferencia de la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables o coeficientes), o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas son llamadas «fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio general.⁴ El álgebra conforma una de las grandes áreas de las matemáticas, junto a la teoría de números, la geometría y el análisis.

Página del libro Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr wa-l-muqābala, de Al-Juarismi.

La palabra «álgebra» proviene del vocablo árabe الجبر al-ŷabr (en árabe dialectal por asimilación progresiva se pronunciaba [alŷɛbɾ] de donde derivan los términos de las lenguas europeas), que se traduce como 'restauración' o 'reponimiento, reintegración'. Deriva del tratado escrito alrededor del año 820 d.C. por el matemático y astrónomo persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (conocido como Al Juarismi), titulado Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷabr waˀl-muqābala (Compendio de cálculo por reintegración y comparación), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Muchos de sus métodos derivan del desarrollo de la matemática en el islam medieval, destacando la independencia del álgebra como una disciplina matemática independiente de la geometría y de laaritmética.⁵ Puede considerarse al álgebra como el arte de hacer cálculos del mismo modo que en aritmética, pero con objetos matemáticos no-numéricos.⁶

El adjetivo «algebraico» denota usualmente una relación con el álgebra, como por ejemplo en estructura algebraica. Por razones históricas, también puede indicar una relación con las soluciones de ecuaciones polinomiales, números algebraicos, extensión algebraica o expresión algebraica. Conviene distinguir entre:

• Álgebra elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos de matemáticas.
• Álgebra abstracta es el nombre dado al estudio de las «estructuras algebraicas» propiamente.

El álgebra usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas finitas de signos, mientras que análisis matemático requiere estudiar límites y sucesiones de una cantidad infinita de elementos.

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Table of Contents
Preface ix
1 Relations and Functions 1
1.1 The Cartesian Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Distance in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Graphs of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Introduction to Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5 Function Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.6 Function Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.6.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.7 Graphs of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.7.1 General Function Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.7.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.7.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.8 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.8.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.8.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
iv Table of Contents
2 Linear and Quadratic Functions 111
2.1 Linear Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.2 Absolute Value Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.3 Quadratic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.4 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.5 Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
2.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3 Polynomial Functions 179
3.1 Graphs of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.2 The Factor Theorem and The Remainder Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
3.3 Real Zeros of Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.3.1 For Those Wishing to use a Graphing Calculator . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.3.2 For Those Wishing NOT to use a Graphing Calculator . . . . . . . . . . . 211
3.3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.3.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.4 Complex Zeros and the Fundamental Theorem of Algebra . . . . . . . . . . . . . . 219
3.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
3.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4 Rational Functions 231
4.1 Introduction to Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.2 Graphs of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.3 Rational Inequalities and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.3.1 Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Table of Contents v
4.3.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5 Further Topics in Functions 279
5.1 Function Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
5.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.2 Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
5.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.3 Other Algebraic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
5.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6 Exponential and Logarithmic Functions 329
6.1 Introduction to Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
6.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.2 Properties of Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
6.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
6.3 Exponential Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
6.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
6.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
6.4 Logarithmic Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
6.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
6.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6.5 Applications of Exponential and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . 378
6.5.1 Applications of Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
6.5.2 Applications of Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
6.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
7 Hooked on Conics 397
7.1 Introduction to Conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
7.2 Circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
7.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
7.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
7.3 Parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
7.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
7.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
7.4 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
7.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
7.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430vi
Table of Contents
7.5 Hyperbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
7.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
7.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
8 Systems of Equations and Matrices 449
8.1 Systems of Linear Equations: Gaussian Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
8.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
8.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
8.2 Systems of Linear Equations: Augmented Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
8.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
8.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
8.3 Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
8.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
8.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
8.4 Systems of Linear Equations: Matrix Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
8.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
8.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
8.5 Determinants and Cramer's Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
8.5.1 De nition and Properties of the Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
8.5.2 Cramer's Rule and Matrix Adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
8.5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
8.5.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
8.6 Partial Fraction Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
8.6.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
8.6.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
8.7 Systems of Non-Linear Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
8.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
8.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
9 Sequences and the Binomial Theorem 551
9.1 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
9.1.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
9.1.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
9.2 Summation Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
9.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
9.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
9.3 Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
9.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
9.3.2 Selected Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
9.4 The Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
9.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
9.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
Table of Contents vii
10 Foundations of Trigonometry 593
10.1 Angles and their Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
10.1.1 Applications of Radian Measure: Circular Motion . . . . . . . . . . . . . . 605
10.1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
10.1.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
10.2 The Unit Circle: Cosine and Sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
10.2.1 Beyond the Unit Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
10.2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
10.2.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
10.3 The Six Circular Functions and Fundamental Identities . . . . . . . . . . . . . . . . 635
10.3.1 Beyond the Unit Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
10.3.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
10.3.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
10.4 Trigonometric Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
10.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
10.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
10.5 Graphs of the Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
10.5.1 Graphs of the Cosine and Sine Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
10.5.2 Graphs of the Secant and Cosecant Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 682
10.5.3 Graphs of the Tangent and Cotangent Functions . . . . . . . . . . . . . . . 686
10.5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
10.5.5 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693
10.6 The Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701
10.6.1 Inverses of Secant and Cosecant: Trigonometry Friendly Approach . . . . . 708
10.6.2 Inverses of Secant and Cosecant: Calculus Friendly Approach . . . . . . . . 711
10.6.3 Using a Calculator to Approximate Inverse Function Values. . . . . . . . . 714
10.6.4 Solving Equations Using the Inverse Trigonometric Functions. . . . . . . . 716
10.6.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
10.6.6 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
10.7 Trigonometric Equations and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729
10.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742
10.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
11 Applications of Trigonometry 747
11.1 Applications of Sinusoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747
11.1.1 Harmonic Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751
11.1.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757
11.1.3 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759
11.2 The Law of Sines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
11.2.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769
11.2.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772
11.3 The Law of Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773
viii Table of Contents
11.3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 779
11.3.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
11.4 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
11.4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793
11.4.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
11.5 Graphs of Polar Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796
11.5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
11.5.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820
11.6 Hooked on Conics Again . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826
11.6.1 Rotation of Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826
11.6.2 The Polar Form of Conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834
11.6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839
11.6.4 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840
11.7 Polar Form of Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842
11.7.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855
11.7.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857
11.8 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859
11.8.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872
11.8.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874
11.9 The Dot Product and Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875
11.9.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883
11.9.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884
11.10 Parametric Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885
11.10.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896
11.10.2 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899
Index 901

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Preface
Universal algebra has enjoyed a particularly explosive growth in the last twenty years, and
a student entering the subject now will find a bewildering amount of material to digest.
This text is not intended to be encyclopedic; rather, a few themes central to universal
algebra have been developed sufficiently to bring the reader to the brink of current research.
The choice of topics most certainly reflects the authors’ interests.
Chapter I contains a brief but substantial introduction to lattices, and to the close connection between complete lattices and closure operators. In particular, everything necessary
for the subsequent study of congruence lattices is included.
Chapter II develops the most general and fundamental notions of universal algebra—
these include the results that apply to all types of algebras, such as the homomorphism and
isomorphism theorems. Free algebras are discussed in great detail—we use them to derive
the existence of simple algebras, the rules of equational logic, and the important Mal’cev
conditions. We introduce the notion of classifying a variety by properties of (the lattices of)
congruences on members of the variety. Also, the center of an algebra is defined and used to
characterize modules (up to polynomial equivalence).
In Chapter III we show how neatly two famous results—the refutation of Euler’s conjecture on orthogonal Latin squares and Kleene’s characterization of languages accepted by
finite automata—can be presented using universal algebra. We predict that such “applied
universal algebra” will become much more prominent.
Chapter IV starts with a careful development of Boolean algebras, including Stone duality, which is subsequently used in our study of Boolean sheaf representations; however,
the cumbersome formulation of general sheaf theory has been replaced by the considerably
simpler definition of a Boolean product. First we look at Boolean powers, a beautiful tool
for transferring results about Boolean algebras to other varieties as well as for providing a
structure theory for certain varieties. The highlight of the chapter is the study of discriminator varieties. These varieties have played a remarkable role in the study of spectra, model
companions, decidability, and Boolean product representations. Probably no other class of
varieties is so well-behaved yet so fascinating.
The final chapter gives the reader a leisurely introduction to some basic concepts, tools,
and results of model theory. In particular, we use the ultraproduct construction to derive the
compactness theorem and to prove fundamental preservation theorems. Principal congruence
ix.

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Indice
CAPITULO 1. Introducci´on a la Teor´ıa de N´umeros 5
1. Los N´umeros Naturales y los N´umeros Enteros 5
2. Divisibilidad 7
3. Congruencias 14
4. Clases Residuales 21
CAPITULO 2. Polinomios 27
1. Polinomios sobre los Racionales y los Enteros 27
2. Divisibilidad 28
3. Irreducibilidad sobre los Racionales. El Criterio de Eisenstein 32
4. Teorema de Factorizaci´on Unica 36
5. Irreducibilidad sobre los reales y los complejos 39
CAPITULO 3. Anillos 43
1. Definiciones y Ejemplos 43
2. Subanillos e Ideales 48
3. Homomorfismos e Isomorfismos 55
CAPITULO 4. Cuerpos 61
1. Definiciones y Ejemplos 61
2. Cuerpo de Cuocientes 62
3. Caracter´ıstica de un Cuerpo 65
4. Extensiones Simples de Q 67
5. Obtenci´on de Raices de Polinomios sobre Q 71
CAPITULO 5. Grupos 75
1. Definiciones y Ejemplos 75
2. Permutaciones, Isometr´ıas, Simetr´ıas. 81
3. Subgrupos y el Teorema de Lagrange 98
4. Grupos C´ıclicos 104
5. Subgrupos Normales 105
6. Homomorfismos 107
Bibliograf´ıa 113

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The text pages that you are to study are listed at
the beginning of each assignment. Study these
pages carefully before attempting to answer the
questions. Pay close attention to tables and
illustrations and read the learning objectives.
The learning objectives state what you should be
able to do after studying the material. Answering
the questions correctly helps you accomplish the
objectives.
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Read each question carefully, then select the
BEST answer. You may refer freely to the text.
The answers must be the result of your own
work and decisions. You are prohibited from
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(1) use the Internet to submit your assignments
as you complete them, or (2) send all the
assignments at one time by mail to NETPDTC.
Grading on the Internet:   Advantages to
Internet grading are:
•  you may submit your answers as soon as
you complete an assignment, and
•  you get your results faster; usually by the
next working day (approximately 24 hours).
In addition to receiving grade results for each
assignment, you will receive course completion
confirmation once you have completed all the
assignments. To submit your assignment
answers via the Internet, go to:
http://courses.cnet.navy.mil
Grading by Mail:  When you submit answer
sheets by mail, send all of your assignments at
one time. Do NOT submit individual answer
sheets for grading. Mail all of your assignments
in an envelope, which you either provide
yourself or obtain from your nearest Educational
Services Officer (ESO). Submit answer sheets
to:
COMMANDING OFFICER
NETPDTC N331
6490 SAUFLEY FIELD ROAD
PENSACOLA FL 32559-5000
Answer Sheets:  All courses include one
“scannable” answer sheet for each assignment.
These answer sheets are preprinted with your
SSN, name, assignment number, and course
number. Explanations for completing the answer
sheets are on the answer sheet.
Do not use answer sheet reproductions:  Use
only the original answer sheets that we
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scanning equipment and cannot be processed.
Follow the instructions for marking your
answers on the answer sheet. Be sure that blocks
1, 2, and 3 are filled in correctly. This
information is necessary for your course to be
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Courses must be completed within 12 months
from the date of enrollment. This includes time
required to resubmit failed assignments.