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ES Curso- Aprende Fácilmente Geometría (Maestros y Estudiantes)- Descargar Gratis PDF




Indice General
Introducci´on ix
Cap´ıtulo I: La geometr´ıa absoluta 1
1.1 Axiomas de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Axiomas de ordenaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Angulos
´ y tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Axiomas de congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Suma de angulos ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 M´as propiedades de segmentos, angulos ´ y tri´angulos . . . . . . . 16
1.7 Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 El axioma de continuidad, c´ırculos y circunferencias . . . . . . . 21
Cap´ıtulo II: Medida de segmentos, ´angulos y arcos 27
2.1 Longitud de segmentos. Numeros ´ reales . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Complementos sobre numeros ´ reales . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Amplitud de angulos ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Arcos y sectores circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Cap´ıtulo III: La geometr´ıa eucl´ıdea 49
3.1 El axioma de las paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Semejanza de tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Relaciones entre angulos ´ y arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Las razones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Propiedades de los tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Cap´ıtulo IV: La geometr´ıa anal´ıtica 73
4.1 Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Espacios afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Coordenadas cartesianas y baric´entricas . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Espacios eucl´ıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5 Los giros y la medida de angulos ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6 Complementos sobre trigonometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7 Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.8 C´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
vvi
´
INDICE GENERAL
Cap´ıtulo V: Numeros ´ complejos 115
5.1 Definici´on y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 La clausura algebraica de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 Construcciones con regla y comp´as . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4 Pol´ıgonos regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5 Geometr´ıa discontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.6 Ap´endice: El teorema de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Cap´ıtulo VI: Biyecciones afines 139
6.1 El grupo af´ın y el grupo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2 Homotecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.3 El teorema fundamental de la geometr´ıa af´ın . . . . . . . . . . . 146
6.4 Isometr´ıas y semejanzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.5 Clasificaci´on de endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.6 Clasificaci´on de isometr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.7 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Cap´ıtulo VII: La geometr´ıa af´ın 183
7.1 Incidencia y paralelismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2 Homotecias y traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.3 Vectores y escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.4 Los teoremas de Desargues y Papos-Pascal . . . . . . . . . . . . . 194
7.5 Axiomas de ordenaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Cap´ıtulo VIII: La geometr´ıa proyectiva 205
8.1 Espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.2 Homograf´ıas y coordenadas homog´eneas . . . . . . . . . . . . . . 214
8.3 Perspectividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.4 Caracterizaci´on axiom´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.5 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.6 Razones dobles y separaci´on harm´onica . . . . . . . . . . . . . . 235
8.7 Espacios sobre cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Cap´ıtulo IX: Secciones c´onicas 251
9.1 Clasificaci´on de formas bilineales sim´etricas . . . . . . . . . . . . 251
9.2 C´onicas proyectivas y afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.3 La polaridad de una c´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.4 El teorema de Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
9.5 Propiedades de las c´onicas proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.6 Homograf´ıas entre c´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
9.7 C´onicas sobre cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
9.8 Complexificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294´
Cap´ıtulo X: La geometr´ıa parab´olica 299
10.1 Espacios parab´olicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.2 El plano eucl´ıdeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.3 El plano de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.4 Propiedades m´etricas de las c´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
10.5 Espacios de dimensiones superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Cap´ıtulo XI: La geometr´ıa circular 349
11.1 La proyecci´on estereogr´afica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
11.2 Transformaciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
11.3 Homograf´ıas en la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
11.4 Conservaci´on de angulos ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
11.5 El teorema de Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Cap´ıtulo XII: La geometr´ıa hiperb´olica 363
12.1 El plano hiperb´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
12.2 Medida de segmentos y angulos ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
12.3 El modelo de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
12.4 Trigonometr´ıa hiperb´olica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
12.5 Las isometr´ıas hiperb´olicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
Cap´ıtulo XIII: La geometr´ıa el´ıptica 387
13.1 El plano el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
13.2 Bil´ateros y tri´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
13.3 Isometr´ıas el´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
13.4 Trigonometr´ıa el´ıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
Bibliograf´ıa 397
´Indice de Materias 398

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