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PROLOGO ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
´INDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
GENERALIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
ECUACIONES EXPL´ICITAS DE PRIMER ORDEN y
′ = f(x, y) . . . . 5
1. Variables separadas g(x) = h(y)y
′
. . . . . . . . . . . 5
2. Ecuaci´on de la forma y
′ = f(ax + by) . . . . . . . . . . 7
3. Homog´eneas y
′ = f
y
x
. . . . . . . . . . . . . . . 7
3
′
. Reducibles a homog´eneas y
′ = f
a1x+b1y+c1
ax+by+c
. . . . . . . . 9
3
′
.1. Caso ✭✭rectas que se cortan✮✮ . . . . . . . . . . . 9
3
′
.2. Caso ✭✭rectas paralelas✮✮ . . . . . . . . . . . . 9
3
′′
. Homog´eneas impl´ıcitas F
y
x
, y
′
= 0 . . . . . . . . . . . 11
3
′′′
. Ecuaci´on y
′ = f(x, y) con f(λx, λ
α
y) = λ
α−1
f(x, y) . . . . . . 12
4. Ecuaciones exactas P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 con Py = Qx . . . 14
4
′
. Reducibles a exactas: Factores integrantes . . . . . . . . . 16
4
′
.1. Factor integrante de la forma µ(x) . . . . . . . . . 16
4
′
.2. Factor integrante de la forma µ(y) . . . . . . . . . 16
4
′
.3. Otras expresiones restrictivas para µ(x, y) . . . . . . . 16
5. Ecuaciones lineales de primer orden y
′ + a(x)y = b(x) . . . . . 17
5
′
. Ecuaci´on de Bernoulli y
′ + a(x)y + b(x)y
α = 0 . . . . . . . 21
5
′′
. Ecuaci´on de Riccati y
′ + a(x)y + b(x)y
2 = c(x) . . . . . . . 22
6. Sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
ECUACIONES EN LAS QUE LA DERIVADA APARECE IMPL´ICITAMENTE
F(x, y, y
′
) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7. F algebraica en y
′
de grado n . . . . . . . . . . . . . 25
Obtenci´on de la envolvente de una familia de curvas . . . . . . 26
8. Ecuaci´on de la forma y = f(x, y
′
) . . . . . . . . . . . 27
8.1. Ecuaci´on y = f(y
′
) . . . . . . . . . . . . . . 27
8.2. Ecuaci´on de Lagrange y + xϕ(y
′
) + ψ(y
′
) = 0 . . . . . . 28
8.3. Ecuaci´on de Clairaut y − xy
′ + ψ(y
′
) = 0 . . . . . . . 28
9. Ecuaci´on de la forma x = f(y, y
′
) . . . . . . . . . . . 32
10. Ecuaci´on de la forma F(y, y
′
) = 0 . . . . . . . . . . . 33
ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS QUE SE PUEDE REDUCIR EL
ORDEN F(x, y, y
′
, . . . , y
(n)
) = 0 . . . . . . . . . . . . . . 35
11. Ecuaci´on de la forma F(x, y
(k)
, . . . , y
(n)
) = 0 . . . . . . . . 35
11
′
. Ecuaciones lineales de orden superior . . . . . . . . . . 36
12. Ecuaci´on de la forma F(y, y
′
, . . . , y
(n)
) = 0 . . . . . . . . . 40
12
′
. Ecuaci´on F(x, y, y
′
, . . . , y
(n)
) = 0 con F(λx, λ
m
u0, λ
m−1
u1, . . . , λ
m−n
un) =
λ
α
F(x, u0, u1, . . . , un) . . . . . . . . . . . . . . . 42
13. Ecuaci´on F(x, y, y
′
, . . . , y
(n)
) = 0 con F(x, λu0, λu1, . . . , λun) =
λ
α
F(x, u0, u1, . . . , un) . . . . . . . . . . . . . . . 44
Peque˜na bibliograf´ıa en castellano . . . . . . . . . . . . . 47
APENDICE: M´etodos b´asicos para calcular integrales indefin ´ idas . . . 49
PROLOGO ´
Este texto tuvo su origen en unos apuntes sobre Ecuaciones Diferenciales para los
alumnos de la Licenciatura de Matem´aticas, aunque, a lo largo de estos ´ultimos a˜nos,
hemos observado que, adem´as, resultaban ´utiles para otras carreras, en particular para
las ense˜nanzas de Ingenier´ıas T´ecnicas de la Universidad de La Rioja. Visto que estos
apuntes pod´ıan ser aprovechados por diversas personas con diferentes objetivos, y puesto
que pod´ıan tener un p´ublico no demasiado restringido, nos decidimos a darles vida en
forma de libro.
Los m´etodos cl´asicos para resolver ecuaciones diferenciales son importantes pero
dif´ıciles de recordar. Por eso nos planteamos escribir algo —en principio, los apuntes
antes mencionados— dedicado a ellos con exclusividad, donde se pudiesen encontrar los
m´etodos f´acilmente. De aqu´ı que este libro no contiene nada de muchos de los aspectos
fundamentales de la teor´ıa de ecuaciones diferenciales: existencia y unicidad de soluciones,
sistemas de ecuaciones, integraci´on por desarrollos en serie, estabilidad, . . . , por citar s´olo
unos pocos. Es claro que, matem´aticamente hablando, no puede plantearse un estudio serio
de las ecuaciones diferenciales sin abordar esos temas, pero no es ´este el objetivo del libro.
Los temas que aqu´ı se tratan pueden explicarse a estudiantes de diversas carreras tal como
aparecen desarrollados. En cambio, el estudio de la existencia y unicidad de soluciones,
por ejemplo, requiere necesariamente un tratamiento distinto, ya sea m´as pr´actico o m´as
te´orico, dependiendo del tipo de personas al que est´e destinado.
El libro consta fundamentalmente de tres partes, de acuerdo a una primera clasificaci´on
general de la ecuaciones que se estudian: ecuaciones expl´ıcitas de primer orden, ecuaciones
en las que la derivada aparece impl´ıcitamente, y ecuaciones en las que se puede reducir
el orden. Cada una de estas partes abarca diversos tipos de ecuaciones, que aparecen en
lo que hemos denominado ✭✭Apartados✮✮, y que hemos numerado consecutivamente desde 1
hasta 13. Entre estos n´umeros aparecen a veces algunos denotados con ✭✭prima✮✮, como 4
′
.
Alguien malintencionado pod´ıa pensar que tan extra˜na notaci´on respond´ıa simplemente
a dejadez del autor, para no tener que renumerar los apartados tras haber redactado
el libro en desorden. No es ´este el caso (al menos en estas notas). El uso de ✭✭primas✮✮
es intencionado, y quiere significar que un tipo se reduce al anterior mediante alg´un
mecanismo en forma de cambio de variable. Por otra parte, todos los m´etodos de resoluci´on
se basan, en esencia, en aplicar transformaciones diversas hasta llegar a una ecuaci´on de
variables separadas, cuya resoluci´on requiere s´olo calcular integrales. As´ı pues, no ten´ıa
sentido utilizar la denominaci´on 1
′
(o sucesivas) para alg´un tipo concreto de ecuaci´on,
puesto que lo mismo pod´ıa haberse aplicado a la mayor´ıa. Varios de los tipos que se
estudian se subdividen a su vez en subtipos. En todo caso, siempre se analizan los procesos
que hay que seguir para llegar a la resoluci´on, a veces por diferentes caminos.
Un resumen de los m´etodos que se emplean, para recordarlos de un vistazo, es lo
que aparece en lo que hemos denominado ✭✭Recetas✮✮. Estos esquemas permiten clasificar
f´acilmente las ecuaciones estudiadas y tener una r´apida indicaci´on de c´omo abordar
su resoluci´on. As´ı mismo, con cada tipo de ecuaciones se muestra un ejemplo t´ıpico
completamente resuelto.
En el libro aparece una peque˜na bibliograf´ıa con libros exclusivamente en castellano. Al
contrario que en muchos otros temas de matem´aticas, existen, en nuestro idioma, bastantes
textos dedicados a las ecuaciones diferenciales, as´ı que s´olo hemos incluido unos pocos. (La
abundancia de libros en castellano sobre ecuaciones diferenciales se debe, en opini´on del
autor, al inter´es del tema en disciplinas no estrictamente matem´aticas. Realmente, en los
temas m´as puntuales y de investigaci´on, esta abundancia ya no puede considerarse cierta.)
Entre las obras citadas, no hemos considerado necesario indicar cu´ales son te´oricas y cu´ales
se dedican fundamentalmente a la resoluci´on de problemas, ya que nos ha parecido que sus
t´ıtulos son bastante descriptivos.
Acaba el libro con un ap´endice dedicado a los m´etodos de resoluci´on de integrales
inmediatas o c´alculo de primitivas. Tal como ya hemos mencionado anteriormente, todas
la ecuaciones que aqu´ı estudiamos se intentan reducir a ecuaciones en variables separadas
cuya soluci´on se expresa por medio de integrales. As´ı pues, tal recordatorio puede resultar
claramente de inter´es en el tema que estamos tratando.
Queremos dejar constancia de que los nombres que aparecen en el ´ındice no se
corresponden exactamente con los t´ıtulos que hemos ido dando a los diferentes apartados.
La no coincidencia no se debe a descuido, sino que ha sido pensada conscientemente para
que, cuando alguien se encuentra ante una ecuaci´on que debe resolver, el ´ındice le permita
una r´apida identificaci´on del tipo que se trata, y d´onde se puede localizar dentro del texto.
Deseamos as´ı mismo justificar la falta de un ´ındice terminol´ogico o tabla de contenidos,
que quiz´as alguien pueda echar en falta. La ventaja que tienen tales tipos de ´ındices es
que permiten buscar palabras clave clasificadas alfab´eticamente, al contrario que en un
´ındice general en el que, obviamente, los apartados aparecen consecutivamente seg´un el
orden en el que se abordan dentro del libro, y en el que muchos t´erminos suficientemente
descriptivos pueden no estar reflejados o ser dif´ıciles de localizar. Es opini´on del autor que
casi cualquier libro de estudio o consulta deber´ıa llevar un ´ındice de nombres, as´ı que no
podemos resistirnos a explicar su ausencia.
Hay que tener presente que ´este es un libro peque˜no en extensi´on, dedicado a un tema
bastante puntual, con un ´ındice detallado, y cuyo prop´osito es permitir que, cuando nos
encontramos ante una ecuaci´on diferencial, podamos f´acilmente distinguir su tipo para
proceder a resolverla. As´ı pues, no parec´ıa demasiado importante algo parecido a un ´ındice
de nombres, ya que lo que interesa al lector es saber identificar el tipo de una ecuaci´on a la
vista de su aspecto, no de su nombre, que es f´acil que quien consulta el libro no conozca.
Queremos tambi´en mencionar la dificultad de elaborar un ´ındice de nombre suficientemente
completo; esto es as´ı puesto que, aunque muchos de los tipos de ecuaciones que aqu´ı se
estudian s´ı que tienen un nombre que los describe, esto no es as´ı en todos los casos, sino
que muchas veces las catalogamos ´unicamente por su aspecto. Por esta raz´on, adem´as,
muchos de los t´ıtulos de los apartados son meramente descriptivos, clasificando el tipo de
ecuaci´on mediante una f´ormula. De todas formas, si alguien desea buscar una ecuaci´on
por su nombre, no es complicado localizarla en el ´ındice ya que ´este es, necesariamente,
peque˜no.
Tampoco se ha incluido un ´ındice de ✭✭recetas✮✮, pues siempre aparecen, como mucho,
un par de p´aginas despu´es de cada tipo, luego resultan f´aciles de localizar a trav´es del
´ındice. Lo mismo puede decirse de los ejercicios, que invariablemente est´an colocados tras
la explicaci´on te´orica del m´etodo.
Aunque el libro ha sido suficientemente repasado, y ha sido ya utilizado como apuntes
fotocopiados durante varios a˜nos, la experiencia nos muestra la pr´actica imposibilidad de
evitar que se deslice alguna errata. En este aspecto, es de destacar que todas ellas son
debidas al autor y no a ning´un proceso posterior en imprenta, puesto que el libro ha sido
editado directamente a partir de las p´aginas ya impresas suministradas por el autor. En
su confecci´on se ha utilizado TEX, a cuyo creador, Donald Knuth, deseo hacer constar mi
gratitud por permitir a la comunidad matem´atica (y cient´ıfica en general) la utilizaci´on
de tan potente y ´util herramienta destinada a elaborar textos de gran calidad tipogr´afica.
L´astima que, a´un, no est´e lo suficientemente adaptado para escribir en lengua no inglesa.
As´ı mismo, quiero agradecer a mis compa˜neros del Departamento de Matem´aticas
y Computaci´on de la Universidad de La Rioja sus sugerencias y correcciones sobre las
versiones preliminares de este libro. En particular, a Jos´e Luis Ansorena, Jos´e Manuel
Guti´errez y V´ıctor Lanchares, cuyas cr´ıticas han permitido, sin duda, mejorar el texto.
Tambi´en mi reconocimiento a Jos´e Javier Guadalupe, de quien aprend´ı mis primeras
nociones sobre ecuaciones diferenciales hace a˜nos, cuando estudiaba en el entonces Colegio
Universitario de La Rioja, semilla de nuestra actual Universidad; de sus apuntes dictados
en clase surgieron parte de estas notas, que se han ido completando durante varios a˜nos.
Por ´ultimo, a mi mujer, Mar´ıa Jos´e Ram´ırez, que ha soportado mi ausencia durante las
m´ultiples horas que he dedicado a escribir este libro; como ahora —s´abado a las ocho de
la ma˜nana—, que duerme en la habitaci´on de al lado mientras yo doy los ´ultimos (¡ojal´a!)
retoques al texto.
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